Вычислительная математика

Экзаменационные вопросы

1. Источники и классификация погрешностей вычислительного эксперимента.
2. Представление вещественных чисел в ЭВМ.
3. Вычислительная погрешность определения значения функции.
4. Постановка задачи интерполяции функций.
5. Интерполяционная формула Лагранжа.
6. Интерполяционная формула Ньютона.
7. Особенности полиномиальной интерполяции.
8. Кусочно-линейная интерполяция. Интерполяция базисными сплайнами.
9. Квадратичная сплайн-интерполяция.
10. Интерполяция кубическими сплайнами.
11. Основные определения линейной алгебры.
12. Нормы векторов и матриц.
13. Ортогональность векторов и матриц. Основные ортогональные преобразования: преобразование Хаусхолдера, матрица вращения Якоби.
14. Погрешность решения систем линейных уравнений (СЛАУ). Понятие обусловленности матрицы.
15. Метод Гаусса решения СЛАУ.
16. Методы разложения матриц решения систем линейных уравнений. 
17. Метод LU-разложения решения СЛАУ.
18. Метод QR-разложения решения СЛАУ.
19. Метод LDLT-разложения (разложения Холесского) решения СЛАУ.
20. Регуляризация СЛАУ с плохо обусловленными матрицами.
21. Методы решения частичной проблемы собственных значений.
22. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.
23. Метод бисекции решения нелинейного уравнения.
24. Метод простой итерации решения нелинейного уравнения с одним неизвестным.
25. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения с одним неизвестным.
26. Квазиньютоновские методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.
27. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений (СНУ).
28. Квазиньютоновский метод решения СНУ с конечно-разностной аппроксимацией матрицы Якоби.
29. Квазиньютоновский метод секущих решения СНУ.
30. Глобально сходящиеся модификации метода Ньютона решения СНУ.
31. Постановка задачи численного интегрирования функций.
32. Формула прямоугольников численного интегрирования функций.
33. Формула трапеции численного интегрирования функций.
34. Формула Симпсона численного интегрирования функций.
35. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
36. Апостериорная оценка погрешности квадратурной формулы, правила Рунге.
37. Общая погрешность численного интегрирования.
38. Экстраполяция Ричардсона. Квадратуры Ромберга.
39. Понятие об адаптивных квадратурных методах.
40. Квадратурные формулы Чебышева.
41. Квадратурные формулы Гаусса.
42. Интегрирование функций нескольких переменных.
43. Метод Монте-Карло численного интегрирования функций.
44. Постановка задачи численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
45. Метод Эйлера решения задачи Коши.
46. Методы Рунге-Кутта решения задачи Коши.
47. Многошаговые методы решения задачи Коши. Методы Адамса.
48. Апостериорная оценка погрешности задачи Коши. Автоматический выбор шага интегрирования.
49. Понятие жестких дифференциальных уравнений.
50. Методы решения жестких дифференциальных уравнений. Методы Гира.
51. Приведение краевых задач к задачам Коши.
52. Метод конечных разностей решения краевых задач.
53. Проекционные методы решения краевых задач.
54. Метод конечных элементов решения краевых задач.
55. Постановка задач оптимизации.
56. Методы одномерного поиска.
57. Методы многомерного поиска.
58. Градиентные методы безусловной оптимизации.
59. Метод Ньютона решения задачи безусловной оптимизации.
60. Методы переменной метрики решения задач безусловной оптимизации.
61. Методы решения задач условной оптимизации.
62. Постановка задачи аппроксимации функций.
63. Линейная задача о среднеквадратичном приближении функции.
64. Нелинейная задача о среднеквадратичном приближении функции.
65. Равномерное приближение функции.